Logica e connettivi Logici

PROPOSIZIONE o ENUNCIATO è  una qualunque espressione alla quale possa attribuirsi il valore logico VERO (V) o (nel senso dell’aut latino) il valore logico FALSO (F)

In particolare: “Gli asini volano”  è l’enunciato (o proposizione); falso è il valore logico dell’enunciato “Gli asini volano”

Da singole proposizioni se ne possono ottenere altre più complesse o composte mediante l’uso dei cosiddetti CONNETTIVI LOGICI.

Nelle proposizioni più complesse le singole proposizioni sono dette Componenti.

I connettivi logici sono:

NEGAZIONE  (che si legge “non”) simbolo:                                  ¬  

CONGIUNZIONE (che si legge “e”) simbolo:                                ˄

DISGIUNZIONE (che si legge “o” nel senso del “vel” latino)       ˅

Connettivi derivati

Disgiunzione esclusiva (“aut” che si legge o uno o l’altro)            AUT

IMPLICAZIONE (che si legge “implica”)                                      ⇒

DOPPIA IMPLICAZIONE (che si legge “se e solo se”)                ↔

per definire compiutamente i connettivi logici occorre stabilire per ciascuno di essi le regole attraverso le quali individuare il valore logico della proposizione composta. Tali regole sono stabilite dalle tabelle di verità.

Negazione

Date “p” e “q” come proposizioni componenti:

p	¬ p
V	F
F	V

Cioè “non p” è vera se “P” falsa e viceversa

Congiunzione

Date “p” e “q” come proposizioni componenti:

p	Q	p ˄ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

In congiunzione “p ˄ q” vera solo p e q entrambe vere

Disgiunzione

Date “p” e “q” come proposizioni componenti:

p	q	p ˅ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

In disgiunzione “p ˅ q” è vera se almeno una tra p e q è vera; se tutte due false p ˅ q è falsa

Disgiunzione esclusiva (aut)

P	Q	p AUT q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

p AUT q è vera solo se p e q hanno valori di verità opposti (o una è vera e l’altra è falsa o viceversa)

Lo stesso risultato di Aut può essere realizzato con gli operatori logici fondamentali:

p AUT q = ¬ [(p ˄ q) ˅ (¬p ˄¬q)]

p	q	¬p	¬q	p ˄ q	(¬p ˄¬q)	(p ˄ q) ˅ (¬p ˄¬q)	¬ [(p ˄ q) ˅ (¬p ˄¬q)]
v	v	f	f	v	f	v	f
v	f	f	v	f	f	f	V
f	v	v	f	f	f	f	V
f	f	v	v	f	v	v	F

Implicazione logica

 Date “p” e “q” come proposizioni componenti:

p	q	p ⇒ q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

In implicazione “p ⇒ q” è vera se p e q  hanno entrambe lo stesso valore di verità (entrambe false o vere)  oppure, in caso di valori differenti, se almeno q è vera

p ⇒ q = (¬p) ˅ q

P	q	¬p	(¬p) ˅ q
V	v	f	V
V	f	F	F
F	v	V	V
F	f	V	V

Doppia implicazione

Date “p” e “q” come proposizioni componenti:

p	Q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

p ↔ q è vera solo se p e q hanno lo stesso valore di verità

p ↔ q = (p ˄ q) ˅ (¬p ˄ ¬q)  

p	q	¬p	¬q	(p ˄ q)	(¬p ˄ ¬q)	(p ˄ q) ˅ (¬p ˄ ¬q)
v	v	f	f	v	F	v
v	f	f	v	f	f	F
f	v	v	f	f	f	F
f	f	v	v	f	v	V