Topologia e tori

La topologia è il ramo della matematica  che studia la “forma globale degli oggetti”, ossia com'è un oggetto quando lo si guarda nella sua totalità.  In particolare lo studio dello spazio ha due aspetti:

-     - uno metrico che tratta delle proprietà della distanza (tipico della geometria comune che tratta di questioni come le distanze, gli angoli, ecc..)

-          - uno topologico che studia le proprietà globali di uno spazio o di un oggetto.

“Le proprietà topologiche sono quelle che restano insensibili alle deformazioni, posto che tali deformazioni siano continue: a patto che lo spazio sia tagliato forato o incollato, lo spazio può essere tirato schiacciato o manipolato in tutti i sensi senza che cambi  la sua topologia” [1].

In pratica, “per un topologo due oggetti hanno stessa forma globale se possiamo deformarne  uno per trasformarlo nell’altro attraverso un processo di stiramento, ma senza romperlo né incollarlo”[2].

Ad  esempio da un punto di vista topologico una tazza ed una ciambella non hanno alcuna differenza in quanto possono essere  trasformate l’una nell'altra come nella figura  che segue (tratta da https://diversamentelaureati.files.wordpress.com):

L’idea è pensare che l’oggetto sia fatto di un materiale elastico molto sensibile che non può rompersi ma solo modellarsi a nostro piacimento. Tali deformazioni si chiamano deformazioni elastiche.

La ciambella e la tazza come indicato hanno la stessa topologia , ed in geometria una superficie che ha forma di ciambella è detta il toro o toroide. Sia la tazza sia la ciambella sono tori.

Questi oggetti hanno la stessa topologia estrinseca se le deformazioni cui sono soggette ne permettono la trasformazione di uno nell'altro in uno spazio di riferimento comune detto spazio ambiente (ad esempio spazio tridimensionale).

Tuttavia - se si prescinde dallo spazio ambiente - due figure possono avere le stesse proprietà topologiche nonostante il fatto che queste, in uno spazio  ambiente comune, per trasformarsi l'una nell'altra,  debbano subire  trasformazioni che non rispettano le regole sopra  elencate (ovvero il divieto di strappo o di incollare le parti). In tali casi si parla di proprietà topologiche intrinseche.

Per capire se due spazi hanno la stessa tipologia intrinseca bisogna prescindere dall'ambiente in cui si trovano. Ad esempio un quadrato su un piano è da un punto di vista topologico intrinseco un toro, al pari di una ciambella (immagine tratta da wikipedia)

Se infatti identifichiamo i lati A con A e B con B secondo la direzione delle frecce e volessimo visivamente raffigurare tale identificazione avremo la seguente trasformazione (immagine tratta da tratta da https://diversamentelaureati.files.wordpress.com):

Da un punto di vista grafico ci si trova innanzi ad un toro piatto che è sostanzialmente una superficie chiusa al cui interno attraversando il lato ad esempio destro (ma anche andando verso l'alto) ti ritrovi ad uscire dal lato sinistro (o dal basso) del foglio, un po' come PacMan nel suo labirinto (immagine tratta da dropseaofulaula.blogspot.it)

Pertanto se si prescinde  dallo spazio ambiente comune due figure sono “topologicamente equivalenti se possiamo trasformare l’una nell'altra attraverso un processo di deformazioni elastiche (stiramenti raccoglimenti) permettendo l’operazione di tagliare deformare e attaccare di nuovo nello stesso posto dove abbiamo tagliato” (3).

In pratica nella topologia intrinseca,  la deformazione che trasforma uno  spazio nell'altro non è altro che un’operazione (applicazione) che fa corrispondere i punti di una figura con quelli dell’altra e viceversa.

Tale deformazione è detta omomorfismo.

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[1] Liminet, la segreta geometria del cosmo

[2] Vicente Munoz, Forme che si deformano

(3) Munoz, op. cit.